안녕하세요
오늘은 Low pass filter에 대해서 공부하고 정리해보겠습니다.
RC lowpass filter
RC(resistor-capacitor) 회로는 저항과 커패시터로 구성된 회로로써
Low pass filter LPF 그리고 High pass filter HPF로 구분할 수 있습니다
Low pass filter LPF란 말 그대로 저주파를 통과시키는 필터를 얘기합니다.
차단주파수 (Cut off frequency) 보다 낮은 주파수 성분만 통과시킵니다.
전달함수를 통해서 차단주파수를 구할 수 있고
고주파는 차단하고 저주파만 통과시킨다!
그렇다면 High pass filter는 고주파를 주로 통과시키겠죠?
위 그림은 전형적인 1차 low pass filter 회로입니다. 커패시터가 고주파 신호를 흡수하고 저주파 신호만을 통과시킵니다.
그래서 Lowpass filter는 주로 신호의 고주파 노이즈를 제거하기 위해 주로 사용됩니다.
RC Lowpass filter회로 구성과 1계 미분방정식은 키로히호프 전압법칙에 의해 다음과 같습니다.
Lowpass filter RC회로의 전달함수
Lowpass filter RC회로의 주파수 응답
Lowpass filter RC회로의 진폭응답
Lowpass filter RC회로의 위상응답
식을 통해 LPF를 알아보겠습니다.
먼저 natural response에 대해 알아보도록하겠습니다.
키로히호프 법칙에 의해 그림1의 회로는 식1과 같이 미분방정식으로 나타낼 수 있습니다.
식 1의 해를 구하면 식2와 같이 exponential 형태로 감소하는 경향을 보입니다.
R과 C의 곱을 RC time constant 시정수(시간상수)라고 하고
전기회로에 갑자기 전압을 가했을 경우 전류는 점차 증가하여 마침내 일정한 값에 도달합니다.
이 때의 증가의 비율을 나타내는 것으로, 정상값의 63.2%에 달할 때까지의 시간을 초로 표시합니다.
이는 LPF의 차단주파수를 결정해주기도 하고, laplace domain에서 Pole을 의미하기도 합니다.
쉽게 말해 그림2와 같은 응답이 있을 때 정상상태까지 도달하는 시간을 결정해주는 요인입니다.
그림2와 같이 step응갑에서는 최종값의 63.2%에 도달하는 시간이 RC인거죠.
그림1의 LPF회로를 Laplace domain에서 표현해보도록 하겠습니다.
먼저 그림1의 출력전압은 식5와 같이 커패시터에 의한 식으로 나타낼 수 있습니다.
식 5를 Laplace transform하면 식6과 같이 나타낼 수 있습니다.
그림 2의 입력전압은 식7과 같이 나타낼 수 있습니다.
식6을 Laplace transform하면 식8과 같이 나타낼 수 있습니다.
전달함수는 입력과 출력의 관계이기 때문에 식6과 식8의 관계식으로 표현하여 정리하면 식9와 같습니다.
1차 RC filter의 전달함수의 형태는 식9와 같으며 R과 C의 값에 의해
pole의 위치(차단주파수 또는 응답형태)가 변하게 됩니다.
그리고 전달함수를 통해서 식10과 같이 차단주파수를 구할 수 있습니다.
따라서 신호의 노이즈에 따라 또는 시스템의 특성에 따라 저항 R 커패시터 C값을 조절하여 적절한 차단주파수를 통해 원하는 신호를 얻어낼 수 있습니다.
그림 3에서 보시다시피 RC filter의 주파수 응답으로 저주파에서는 입력과 출력의 비가 같지만 고주파에서는 Magnitude(광도)가 줄어드는 것을 보았을 때 입력 대비 출력이 줄어드는 것(차단)을 확인할 수 있습니다.
또한 RC filter는 phase delay가 있기 때문에 적절한 R과 C값을 설정하는 것이 중요합니다.
식 11은 LPF에 step 입력을 가했을 때 응답을 나타냅니다.
즉, 그림2의 응답곡선을 수학식으로 표현한 것으로
0초에서 step입력은 큰 고주파이므로 LPF가 이를 차단하여 천천히 출력이 증가합니다.
시간이 어느정도 지나서 정상상태에 도달하면 저주파 밖에 남지 않기 때문에
저주파가 통과하여 결과적으로 그림2와 같은 형태의 곡선이 나타납니다.
제가 공부하고 있는 공대 대학원생 브이로그도 보러 와주세요 :)
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